Distinct Subsequences

Question

Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences of T in S.

A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie, "ACE" is a subsequence of "ABCDE" while "AEC" is not).

Here is an example:
S = "rabbbit", T = "rabbit"

Return 3.

题解1

首先分清 subsequence 和 substring 两者的区别,subsequence 可以是不连续的子串。题意要求 S 中子序列 T 的个数。如果不考虑程序实现,我们能想到的办法是逐个比较 S 和 T 的首字符,相等的字符删掉,不等时则删除 S 中的首字符,继续比较后续字符直至 T 中字符串被删完。这种简单的思路有这么几个问题,题目问的是子序列的个数,而不是是否存在,故在字符不等时不能轻易删除掉 S 中的字符。那么如何才能得知子序列的个数呢?

要想得知不同子序列的个数,那么我们就不能在 S 和 T 中首字符不等时简单移除 S 中的首字符了,取而代之的方法应该是先将 S 复制一份,再用移除 S 中首字符后的新字符串和 T 进行比较,这点和深搜中的剪枝函数的处理有点类似。

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class Solution:
# @param S, T: Two string.
# @return: Count the number of distinct subsequences
def numDistinct(self, S, T):
if S is None or T is None:
return 0
if len(S) < len(T):
return 0
if len(T) == 0:
return 1

num = 0
for i, Si in enumerate(S):
if Si == T[0]:
num += self.numDistinct(S[i + 1:], T[1:])

return num

C++

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class Solution {
public:
/**
* @param S, T: Two string.
* @return: Count the number of distinct subsequences
*/
int numDistinct(string &S, string &T) {
if (S.size() < T.size()) return 0;
if (T.empty()) return 1;

int num = 0;
for (int i = 0; i < S.size(); ++i) {
if (S[i] == T[0]) {
string Si = S.substr(i + 1);
string t = T.substr(1);
num += numDistinct(Si, t);
}
}

return num;
}
};

Java

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public class Solution {
/**
* @param S, T: Two string.
* @return: Count the number of distinct subsequences
*/
public int numDistinct(String S, String T) {
if (S == null || T == null) return 0;
if (S.length() < T.length()) return 0;
if (T.length() == 0) return 1;

int num = 0;
for (int i = 0; i < S.length(); i++) {
if (S.charAt(i) == T.charAt(0)) {
// T.length() >= 1, T.substring(1) will not throw index error
num += numDistinct(S.substring(i + 1), T.substring(1));
}
}

return num;
}
}

源码分析

  1. 对 null 异常处理(C++ 中对 string 赋NULL 是错的,函数内部无法 handle 这种情况)
  2. S 字符串长度若小于 T 字符串长度,T 必然不是 S 的子序列,返回0
  3. T 字符串长度为0,证明 T 是 S 的子序列,返回1

由于进入 for 循环的前提是 T.length() >= 1, 故当 T 的长度为1时,Java 中对 T 取子串T.substring(1)时产生的是空串""而并不抛出索引越界的异常。

复杂度分析

最好情况下,S 中没有和 T 相同的字符,时间复杂度为 \[O(n)\]; 最坏情况下,S 中的字符和 T 中字符完全相同,此时可以画出递归调用栈,发现和深搜非常类似,数学关系为 \[f(n) = \sum _{i = 1} ^{n - 1} f(i)\], 这比 Fibonacci 的复杂度还要高很多。

题解2 - Dynamic Programming

从题解1 的复杂度分析中我们能发现由于存在较多的重叠子状态(相同子串被比较多次), 因此可以想到使用动态规划优化。但是动规的三大要素如何建立?由于本题为两个字符串之间的关系,故可以尝试使用双序列(DP_Two_Sequence)动规的思路求解。

定义f[i][j]为 S[0:i] 中子序列为 T[0:j] 的个数,接下来寻找状态转移关系,状态转移应从 f[i-1][j], f[i-1][j-1], f[i][j-1] 中寻找,接着寻找突破口——S[i] 和 T[j] 的关系。

  1. S[i] == T[j]: 两个字符串的最后一个字符相等,我们可以选择 S[i] 和 T[j] 配对,那么此时有 f[i][j] = f[i-1][j-1]; 若不使 S[i] 和 T[j] 配对,而是选择 S[0:i-1] 中的某个字符和 T[j] 配对,那么 f[i][j] = f[i-1][j]. 综合以上两种选择,可得知在S[i] == T[j]时有 f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-1][j]
  2. S[i] != T[j]: 最后一个字符不等时,S[i] 不可能和 T[j] 配对,故 f[i][j] = f[i-1][j]

为便于处理第一个字符相等的状态(便于累加),初始化f[i][0]为1, 其余为0. 这里对于 S 或 T 为空串时返回0,返回1 也能说得过去。

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class Solution:
# @param S, T: Two string.
# @return: Count the number of distinct subsequences
def numDistinct(self, S, T):
if S is None or T is None:
return 0
if len(S) < len(T):
return 0
if len(T) == 0:
return 1

f = [[0 for i in xrange(len(T) + 1)] for j in xrange(len(S) + 1)]
for i, Si in enumerate(S):
f[i][0] = 1
for j, Tj in enumerate(T):
if Si == Tj:
f[i + 1][j + 1] = f[i][j + 1] + f[i][j]
else:
f[i + 1][j + 1] = f[i][j + 1]

return f[len(S)][len(T)]

C++

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class Solution {
public:
/**
* @param S, T: Two string.
* @return: Count the number of distinct subsequences
*/
int numDistinct(string &S, string &T) {
if (S.size() < T.size()) return 0;
if (T.empty()) return 1;

vector<vector<int> > f(S.size() + 1, vector<int>(T.size() + 1, 0));
for (int i = 0; i < S.size(); ++i) {
f[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < T.size(); ++j) {
if (S[i] == T[j]) {
f[i + 1][j + 1] = f[i][j + 1] + f[i][j];
} else {
f[i + 1][j + 1] = f[i][j + 1];
}
}
}

return f[S.size()][T.size()];
}
};

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public class Solution {
/**
* @param S, T: Two string.
* @return: Count the number of distinct subsequences
*/
public int numDistinct(String S, String T) {
if (S == null || T == null) return 0;
if (S.length() < T.length()) return 0;
if (T.length() == 0) return 1;

int[][] f = new int[S.length() + 1][T.length() + 1];
for (int i = 0; i < S.length(); i++) {
f[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < T.length(); j++) {
if (S.charAt(i) == T.charAt(j)) {
f[i + 1][j + 1] = f[i][j + 1] + f[i][j];
} else {
f[i + 1][j + 1] = f[i][j + 1];
}
}
}

return f[S.length()][T.length()];
}
}

源码分析

异常处理部分和题解1 相同,初始化时维度均多一个元素便于处理。

复杂度分析

由于免去了重叠子状态的计算,双重 for 循环,时间复杂度为 \[O(n^2)\], 使用了二维矩阵保存状态,空间复杂度为 \[O(n^2)\]. 空间复杂度可以通过滚动数组的方式优化,详见 Dynamic Programming - 动态规划.

空间复杂度优化之后的代码如下:

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public class Solution {
/**
* @param S, T: Two string.
* @return: Count the number of distinct subsequences
*/
public int numDistinct(String S, String T) {
if (S == null || T == null) return 0;
if (S.length() < T.length()) return 0;
if (T.length() == 0) return 1;

int[] f = new int[T.length() + 1];
f[0] = 1;
for (int i = 0; i < S.length(); i++) {
for (int j = T.length() - 1; j >= 0; j--) {
if (S.charAt(i) == T.charAt(j)) {
f[j + 1] += f[j];
}
}
}

return f[T.length()];
}
}

Reference




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