L-BFGS

L-BFGS

牛顿法

  设f(x)是二次可微实函数,又设$x^{(k)}$是f(x)一个极小点的估计,我们把f(x)在$x^{(k)}$处展开成Taylor级数,
并取二阶近似。

1.1

  上式中最后一项的中间部分表示f(x)在$x^{(k)}$处的Hesse矩阵。对上式求导并令其等于0,可以的到下式:

1.2

  设Hesse矩阵可逆,由上式可以得到牛顿法的迭代公式如下 (1.1)

1.3

  值得注意 , 当初始点远离极小点时,牛顿法可能不收敛。原因之一是牛顿方向不一定是下降方向,经迭代,目标函数可能上升。此外,即使目标函数下降,得到的点也不一定是沿牛顿方向最好的点或极小点。
因此,我们在牛顿方向上增加一维搜索,提出阻尼牛顿法。其迭代公式是 (1.2)

1.4

  其中,lambda是由一维搜索(参考文献【1】了解一维搜索)得到的步长,即满足

1.5

拟牛顿法

拟牛顿条件

  前面介绍了牛顿法,它的突出优点是收敛很快,但是运用牛顿法需要计算二阶偏导数,而且目标函数的Hesse矩阵可能非正定。为了克服牛顿法的缺点,人们提出了拟牛顿法,它的基本思想是用不包含二阶导数的矩阵近似牛顿法中的Hesse矩阵的逆矩阵。
由于构造近似矩阵的方法不同,因而出现不同的拟牛顿法。

  下面分析怎样构造近似矩阵并用它取代牛顿法中的Hesse矩阵的逆。上文 (1.2) 已经给出了牛顿法的迭代公式,为了构造Hesse矩阵逆矩阵的近似矩阵$H_{(k)}$ ,需要先分析该逆矩阵与一阶导数的关系。

  设在第k次迭代之后,得到$x^{(k+1)}$ ,我们将目标函数f(x)在点$x^{(k+1)}$展开成Taylor级数,
并取二阶近似,得到

2.1

  由此可知,在$x^{(k+1)}$附近有,

2.2

  记

2.3

  则有

2.4

  又设Hesse矩阵可逆,那么上式可以写为如下形式。

2.5

  这样,计算出pq之后,就可以通过上面的式子估计Hesse矩阵的逆矩阵。因此,为了用不包含二阶导数的矩阵$H_{(k+1)}$取代牛顿法中Hesse矩阵的逆矩阵,有理由令$H_{(k+1)}$满足公式 (2.1)

2.6

  公式(2.1)称为拟牛顿条件。

秩1校正

  当Hesse矩阵的逆矩阵是对称正定矩阵时,满足拟牛顿条件的矩阵$H_{(k)}$也应该是对称正定矩阵。构造这样近似矩阵的一般策略是,$H_{(1)}$取为任意一个n阶对称正定矩阵,通常选择n阶单位矩阵I,然后通过修正$H_{(k)}$给定$H_{(k+1)}$。
令,

2.7

  秩1校正公式写为如下公式(2.2)形式。

2.8

DFP算法

  著名的DFP方法是Davidon首先提出,后来又被FeltcherPowell改进的算法,又称为变尺度法。在这种方法中,定义校正矩阵为公式 (2.3)

2.9

  那么得到的满足拟牛顿条件的DFP公式如下 (2.4)

2.10

  查看文献【1】,了解DFP算法的计算步骤。

BFGS算法

  前面利用拟牛顿条件 (2.1) 推导出了DFP公式 (2.4) 。下面我们用不含二阶导数的矩阵$B_{(k+1)}$近似Hesse矩阵,从而给出另一种形式的拟牛顿条件 (2.5) :

2.11

  将公式 (2.1)H换为Bpq互换正好可以得到公式 (2.5) 。所以我们可以得到B的修正公式 (2.6) :

2.12

  这个公式称关于矩阵BBFGS修正公式,也称为DFP公式的对偶公式。设$B_{(k+1)}$可逆,由公式 (2.1) 以及 (2.5) 可以推出:

2.13

  这样可以得到关于HBFGS公式为下面的公式 (2.7):

2.14

  这个重要公式是由Broyden,Fletcher,GoldfardShanno于1970年提出的,所以简称为BFGS。数值计算经验表明,它比DFP公式还好,因此目前得到广泛应用。

L-BFGS(限制内存BFGS)算法

  在BFGS算法中,仍然有缺陷,比如当优化问题规模很大时,矩阵的存储和计算将变得不可行。为了解决这个问题,就有了L-BFGS算法。L-BFGSLimited-memory BFGS
L-BFGS的基本思想是只保存最近的m次迭代信息,从而大大减少数据的存储空间。对照BFGS,重新整理一下公式:

2.15

  之前的BFGS算法有如下公式(2.8)

2.16

  那么同样有

2.17

  将该式子带入到公式(2.8)中,可以推导出如下公式

2.18

  假设当前迭代为k,只保存最近的m次迭代信息,按照上面的方式迭代m次,可以得到如下的公式(2.9)

2.19

  上面迭代的最终目的就是找到k次迭代的可行方向,即

2.20

  为了求可行方向r,可以使用two-loop recursion算法来求。该算法的计算过程如下,算法中出现的y即上文中提到的t

2.21

  算法L-BFGS的步骤如下所示。

2.22

OWL-QN算法

L1 正则化

  在机器学习算法中,使用损失函数作为最小化误差,而最小化误差是为了让我们的模型拟合我们的训练数据,此时,
若参数过分拟合我们的训练数据就会有过拟合的问题。正则化参数的目的就是为了防止我们的模型过分拟合训练数据。此时,我们会在损失项之后加上正则化项以约束模型中的参数:

$$J(x) = l(x) + r(x)$$

  公式右边的第一项是损失函数,用来衡量当训练出现偏差时的损失,可以是任意可微凸函数(如果是非凸函数该算法只保证找到局部最优解)。
第二项是正则化项。用来对模型空间进行限制,从而得到一个更“简单”的模型。

  根据对模型参数所服从的概率分布的假设的不同,常用的正则化一般有L2正则化(模型参数服从Gaussian分布)、L1正则化(模型参数服从Laplace分布)以及它们的组合形式。

  L1正则化的形式如下

$$J(x) = l(x) + C ||x||_{1}$$

  L2正则化的形式如下

$$J(x) = l(x) + C ||x||_{2}$$

  L1正则化和L2正则化之间的一个最大区别在于前者可以产生稀疏解,这使它同时具有了特征选择的能力,此外,稀疏的特征权重更具有解释意义。如下图:

2.23

  图左侧是L2正则,右侧为L1正则。当模型中只有两个参数,即$w_1$和$w_2$时,L2正则的约束空间是一个圆,而L1正则的约束空间为一个正方形,这样,基于L1正则的约束会产生稀疏解,即图中某一维($w_2$)为0。
L2正则只是将参数约束在接近0的很小的区间里,而不会正好为0(不排除有0的情况)。对于L1正则产生的稀疏解有很多的好处,如可以起到特征选择的作用,因为有些维的系数为0,说明这些维对于模型的作用很小。

  这里有一个问题是,L1正则化项不可微,所以无法像求L-BFGS那样去求。微软提出了OWL-QN(Orthant-Wise Limited-Memory Quasi-Newton)算法,该算法是基于L-BFGS算法的可用于求解L1正则的算法。
简单来讲,OWL-QN算法是指假定变量的象限确定的条件下使用L-BFGS算法来更新,同时,使得更新前后变量在同一个象限中(使用映射来满足条件)。

OWL-QN算法的具体过程

  • 1 次微分

  设$f:I\rightarrow R$是一个实变量凸函数,定义在实数轴上的开区间内。这种函数不一定是处处可导的,例如绝对值函数$f(x)=|x|$。但是,从下面的图中可以看出(也可以严格地证明),对于定义域中的任何$x_0$,我们总可以作出一条直线,它通过点($x_0$, $f(x_0)$),并且要么接触f的图像,要么在它的下方。
这条直线的斜率称为函数的次导数。推广到多元函数就叫做次梯度。

2.24

  凸函数$f:I\rightarrow R$在点$x_0$的次导数,是实数c使得:

2.25

  对于所有I内的x。我们可以证明,在点$x_0$的次导数的集合是一个非空闭区间$[a, b]$,其中ab是单侧极限。

2.26

2.27

  它们一定存在,且满足$a \leqslant b$。所有次导数的集合$[a, b]$称为函数f在$x_0$的次微分。

  • 2 伪梯度

  利用次梯度的概念推广了梯度,定义了一个符合上述原则的伪梯度,求一维搜索的可行方向时用伪梯度来代替L-BFGS中的梯度。

2.28

  其中

2.29

2.30

  我们要如何理解这个伪梯度呢?对于不是处处可导的凸函数,可以分为下图所示的三种情况。

  左侧极限小于0:

2.31

  右侧极限大于0:

2.32

  其它情况:

2.33

  结合上面的三幅图表示的三种情况以及伪梯度函数公式,我们可以知道,伪梯度函数保证了在$x_0$处取得的方向导数是最小的。

  • 3 映射

  有了函数的下降的方向,接下来必须对变量的所属象限进行限制,目的是使得更新前后变量在同一个象限中,定义函数:$\pi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$

2.34

  上述函数$\pi$直观的解释是若$x$和$y$在同一象限则取$x$,若两者不在同一象限中,则取0。

  • 4 线搜索

  上述的映射是防止更新后的变量的坐标超出象限,而对坐标进行的一个约束,具体的约束的形式如下:

2.35

  其中$x^{k} + \alpha p _{k}$是更新公式,$\zeta$表示$x^k$所在的象限,$p^k$表示伪梯度下降的方向,它们具体的形式如下:

2.36

2.37

  上面的公式中,$v^k$为负伪梯度方向,$d^k = H_{k}v^{k}$。

  选择$\alpha$的方式有很多种,在OWL-QN中,使用了backtracking line search的一种变种。选择常数$\beta, \gamma \subset (0,1)$,对于$n=0,1,2,…$,使得
$\alpha = \beta^{n}$满足:

2.38

  • 5 算法流程
2.38

  与L-BFGS相比,第一步用伪梯度代替梯度,第二、三步要求一维搜索不跨象限,也就是迭代前的点与迭代后的点处于同一象限,第四步要求估计Hessian矩阵时依然使用损失函数的梯度。

源码解析

BreezeLBFGS

  spark Ml调用breeze中实现的BreezeLBFGS来解最优化问题。

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val optimizer = new BreezeLBFGS[BDV[Double]]($(maxIter), 10, $(tol))
val states =
optimizer.iterations(new CachedDiffFunction(costFun), initialWeights.toBreeze.toDenseVector)

  下面重点分析lbfgs.iterations的实现。

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def iterations(f: DF, init: T): Iterator[State] = {
val adjustedFun = adjustFunction(f)
infiniteIterations(f, initialState(adjustedFun, init)).takeUpToWhere(_.converged)
}
//调用infiniteIterations,其中State是一个样本类
def infiniteIterations(f: DF, state: State): Iterator[State] = {
var failedOnce = false
val adjustedFun = adjustFunction(f)
//无限迭代
Iterator.iterate(state) { state => try {
//1 选择梯度下降方向
val dir = chooseDescentDirection(state, adjustedFun)
//2 计算步长
val stepSize = determineStepSize(state, adjustedFun, dir)
//3 更新权重
val x = takeStep(state,dir,stepSize)
//4 利用CostFun.calculate计算损失值和梯度
val (value,grad) = calculateObjective(adjustedFun, x, state.history)
val (adjValue,adjGrad) = adjust(x,grad,value)
val oneOffImprovement = (state.adjustedValue - adjValue)/(state.adjustedValue.abs max adjValue.abs max 1E-6 * state.initialAdjVal.abs)
//5 计算s和t
val history = updateHistory(x,grad,value, adjustedFun, state)
//6 只保存m个需要的s和t
val newAverage = updateFValWindow(state, adjValue)
failedOnce = false
var s = State(x,value,grad,adjValue,adjGrad,state.iter + 1, state.initialAdjVal, history, newAverage, 0)
val improvementFailure = (state.fVals.length >= minImprovementWindow && state.fVals.nonEmpty && state.fVals.last > state.fVals.head * (1-improvementTol))
if(improvementFailure)
s = s.copy(fVals = IndexedSeq.empty, numImprovementFailures = state.numImprovementFailures + 1)
s
} catch {
case x: FirstOrderException if !failedOnce =>
failedOnce = true
logger.error("Failure! Resetting history: " + x)
state.copy(history = initialHistory(adjustedFun, state.x))
case x: FirstOrderException =>
logger.error("Failure again! Giving up and returning. Maybe the objective is just poorly behaved?")
state.copy(searchFailed = true)
}
}
}

  看上面的代码注释,它的流程可以分五步来分析。

选择梯度下降方向

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protected def chooseDescentDirection(state: State, fn: DiffFunction[T]):T = {
state.history * state.grad
}

  这里的*是重写的方法,它的实现如下:

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def *(grad: T) = {
val diag = if(historyLength > 0) {
val prevStep = memStep.head
val prevGradStep = memGradDelta.head
val sy = prevStep dot prevGradStep
val yy = prevGradStep dot prevGradStep
if(sy < 0 || sy.isNaN) throw new NaNHistory
sy/yy
} else {
1.0
}
val dir = space.copy(grad)
val as = new Array[Double](m)
val rho = new Array[Double](m)
//第一次递归
for(i <- 0 until historyLength) {
rho(i) = (memStep(i) dot memGradDelta(i))
as(i) = (memStep(i) dot dir)/rho(i)
if(as(i).isNaN) {
throw new NaNHistory
}
axpy(-as(i), memGradDelta(i), dir)
}
dir *= diag
//第二次递归
for(i <- (historyLength - 1) to 0 by (-1)) {
val beta = (memGradDelta(i) dot dir)/rho(i)
axpy(as(i) - beta, memStep(i), dir)
}
dir *= -1.0
dir
}
}

  非常明显,该方法就是实现了上文提到的two-loop recursion算法。

计算步长

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protected def determineStepSize(state: State, f: DiffFunction[T], dir: T) = {
val x = state.x
val grad = state.grad
val ff = LineSearch.functionFromSearchDirection(f, x, dir)
val search = new StrongWolfeLineSearch(maxZoomIter = 10, maxLineSearchIter = 10) // TODO: Need good default values here.
val alpha = search.minimize(ff, if(state.iter == 0.0) 1.0/norm(dir) else 1.0)
if(alpha * norm(grad) < 1E-10)
throw new StepSizeUnderflow
alpha
}

  这一步对应L-BFGS的步骤的Step 5,通过一维搜索计算步长。

更新权重

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protected def takeStep(state: State, dir: T, stepSize: Double) = state.x + dir * stepSize

  这一步对应L-BFGS的步骤的Step 5,更新权重。

计算损失值和梯度

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protected def calculateObjective(f: DF, x: T, history: History): (Double, T) = {
f.calculate(x)
}

  这一步对应L-BFGS的步骤的Step 7,使用传人的CostFun.calculate方法计算梯度和损失值。并计算出st

计算s和t,并更新history

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//计算s和t
protected def updateHistory(newX: T, newGrad: T, newVal: Double, f: DiffFunction[T], oldState: State): History = {
oldState.history.updated(newX - oldState.x, newGrad :- oldState.grad)
}
//添加新的s和t,并删除过期的s和t
protected def updateFValWindow(oldState: State, newAdjVal: Double):IndexedSeq[Double] = {
val interm = oldState.fVals :+ newAdjVal
if(interm.length > minImprovementWindow) interm.drop(1)
else interm
}

BreezeOWLQN

  BreezeOWLQN的实现与BreezeLBFGS的实现主要有下面一些不同点。

选择梯度下降方向

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override protected def chooseDescentDirection(state: State, fn: DiffFunction[T]) = {
val descentDir = super.chooseDescentDirection(state.copy(grad = state.adjustedGradient), fn)

// The original paper requires that the descent direction be corrected to be
// in the same directional (within the same hypercube) as the adjusted gradient for proof.
// Although this doesn't seem to affect the outcome that much in most of cases, there are some cases
// where the algorithm won't converge (confirmed with the author, Galen Andrew).
val correctedDir = space.zipMapValues.map(descentDir, state.adjustedGradient, { case (d, g) => if (d * g < 0) d else 0.0 })

correctedDir
}

  此处调用了BreezeLBFGSchooseDescentDirection方法选择梯度下降的方向,然后调整该下降方向为正确的方向(方向必须一致)。

计算步长$\alpha$

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override protected def determineStepSize(state: State, f: DiffFunction[T], dir: T) = {
val iter = state.iter

val normGradInDir = {
val possibleNorm = dir dot state.grad
possibleNorm
}
val ff = new DiffFunction[Double] {
def calculate(alpha: Double) = {
val newX = takeStep(state, dir, alpha)
val (v, newG) = f.calculate(newX) // 计算梯度
val (adjv, adjgrad) = adjust(newX, newG, v) // 调整梯度
adjv -> (adjgrad dot dir)
}
}
val search = new BacktrackingLineSearch(state.value, shrinkStep= if(iter < 1) 0.1 else 0.5)
val alpha = search.minimize(ff, if(iter < 1) .5/norm(state.grad) else 1.0)

alpha
}

  takeStep方法用于更新参数。

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// projects x to be on the same orthant as y
// this basically requires that x'_i = x_i if sign(x_i) == sign(y_i), and 0 otherwise.

override protected def takeStep(state: State, dir: T, stepSize: Double) = {
val stepped = state.x + dir * stepSize
val orthant = computeOrthant(state.x, state.adjustedGradient)
space.zipMapValues.map(stepped, orthant, { case (v, ov) =>
v * I(math.signum(v) == math.signum(ov))
})
}

  calculate方法用于计算梯度,adjust方法用于调整梯度。

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// Adds in the regularization stuff to the gradient
override protected def adjust(newX: T, newGrad: T, newVal: Double): (Double, T) = {
var adjValue = newVal
val res = space.zipMapKeyValues.mapActive(newX, newGrad, {case (i, xv, v) =>
val l1regValue = l1reg(i)
require(l1regValue >= 0.0)

if(l1regValue == 0.0) {
v
} else {
adjValue += Math.abs(l1regValue * xv)
xv match {
case 0.0 => {
val delta_+ = v + l1regValue //计算左导数
val delta_- = v - l1regValue //计算右导数
if (delta_- > 0) delta_- else if (delta_+ < 0) delta_+ else 0.0
}
case _ => v + math.signum(xv) * l1regValue
}
}
})
adjValue -> res
}

参考文献

【1】陈宝林,最优化理论和算法

【2】[Updating Quasi-Newton Matrices with Limited Storage](../docs/Updating Quasi-Newton Matrices with Limited Storage.pdf)

【3】[On the Limited Memory BFGS Method for Large Scale Optimization](../docs/On the Limited Memory BFGS Method for Large Scale Optimization.pdf)

【4】L-BFGS算法

【5】BFGS算法

【6】逻辑回归模型及LBFGS的Sherman Morrison(SM) 公式推导

【7】Scalable Training of L1-Regularized Log-Linear Models




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