Bipartial Graph - Part I - 二分图一•二分图判定

Question

Problem Statement

时间限制:10000ms

单点时限:1000ms

内存限制:256MB

描述

大家好,我是小Hi和小Ho的小伙伴Nettle,从这个星期开始由我来完成我们的Weekly。

新年回家,又到了一年一度大龄剩男剩女的相亲时间。Nettle去姑姑家玩的时候看到了一张姑姑写的相亲情况表,上面都是姑姑介绍相亲的剩男剩女们。每行有2个名字, 表示这两个人有一场相亲。由于姑姑年龄比较大了记性不是太好,加上相亲的人很多,所以姑姑一时也想不起来其中有些人的性别。因此她拜托我检查一下相亲表里面有没有错误 的记录,即是否把两个同性安排了相亲。

OK,让我们愉快的暴力搜索吧!

才怪咧。

对于拿到的相亲情况表,我们不妨将其转化成一个图。将每一个人作为一个点(编号1..N),若两个人之间有一场相亲,则在对应的点之间连接一条无向边。(如下图)

img1
img1

因为相亲总是在男女之间进行的,所以每一条边的两边对应的人总是不同性别。假设表示男性的节点染成白色,女性的节点染色黑色。对于得到的无向图来说,即每一条边的两端 一定是一白一黑。如果存在一条边两端同为白色或者黑色,则表示这一条边所表示的记录有误。

由于我们并不知道每个人的性别,我们的问题就转化为判定是否存在一个合理的染色方案,使得我们所建立的无向图满足每一条边两端的顶点颜色都不相同

那么,我们不妨将所有的点初始为未染色的状态。随机选择一个点,将其染成白色。再以它为起点,将所有相邻的点染成黑色。再以这些黑色的点为起点,将所有与其相邻未染色 的点染成白色。不断重复直到整个图都染色完成。(如下图)

img2
img2

在染色的过程中,我们应该怎样发现错误的记录呢?相信你一定发现了吧。对于一个已经染色的点,如果存在一个与它相邻的已染色点和它的颜色相同,那么就一定存在一条错误 的记录。(如上图的4,5节点)

到此我们就得到了整个图的算法:

  1. 选取一个未染色的点u进行染色
  2. 遍历u的相邻节点v:若v未染色,则染色成与u不同的颜色,并对v重复第2步;若v已经染色,如果 u和v颜色相同,判定不可行退出遍历。
  3. 若所有节点均已染色,则判定可行。

接下来就动手写写吧!

输入

第1行:1个正整数T(1≤T≤10)

接下来T组数据,每组数据按照以下格式给出:

第1行:2个正整数N,M(1≤N≤10,000,1≤M≤40,000)

第2..M+1行:每行两个整数u,v表示u和v之间有一条边

输出

第1..T行:第i行表示第i组数据是否有误。如果是正确的数据输出”Correct”,否则输出”Wrong”

样例输入

2
5 5
1 2
1 3
3 4
5 2
1 5
5 5
1 2
1 3
3 4
5 2
3 5

样例输出

Wrong
Correct

题解

二分图中最简单的题,思路原文中已提到,这里就不赘述了,简单实现的话可以使用二维数组,如果要模拟图的操作的话可以自定义类。

Java

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
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38
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40
41
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43
44
45
46
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50
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54
55
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60
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68
69
import java.util.*;
import java.util.Queue;

class UndirectedGraphNode {
int label;
int color;
ArrayList<UndirectedGraphNode> neighbors;
UndirectedGraphNode(int x) {
this.label = x;
this.color = 0;
this.neighbors = new ArrayList<UndirectedGraphNode>();
}
}

public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
int T = in.nextInt();
for (int i = 1; i <= T; i++) {
int N = in.nextInt();
int M = in.nextInt();
// initialize graph
List<UndirectedGraphNode> graph = new ArrayList<UndirectedGraphNode>();
for (int n = 1; n <= N; n++) {
graph.add(new UndirectedGraphNode(n));
}
// construct graph
for (int j = 1; j <= M; j++) {
int u = in.nextInt(), v = in.nextInt();
graph.get(u - 1).neighbors.add(graph.get(v - 1));
graph.get(v - 1).neighbors.add(graph.get(u - 1));
}
// solve
if (solve(graph)) {
System.out.println("Correct");
} else {
System.out.println("Wrong");
}
}
}

public static boolean solve(List<UndirectedGraphNode> graph) {
// 1 for white, -1 for black, 0 for uncolored
for (UndirectedGraphNode node : graph) {
if (node.color == 0) {
node.color = 1;
Queue<UndirectedGraphNode> q = new LinkedList<UndirectedGraphNode>();
q.offer(node);
while (!q.isEmpty()) {
int qSize = q.size();
for (int i = 0; i < qSize; i++) {
UndirectedGraphNode qNode = q.poll();
for (UndirectedGraphNode neighbor : qNode.neighbors) {
if (neighbor.color == 0) {
neighbor.color = -1 * qNode.color;
q.offer(neighbor);
} else if (neighbor.color + qNode.color != 0) {
// the color of qNode is the same with neighbor
return false;
}
}
}
}
}
}

return true;
}
}

源码分析

使用 BFS 不容易爆栈。

复杂度分析

时间复杂度 \[O(V + E)\].


   LeetCode图论


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