条件随机场CRF(三) 模型学习与维特比算法解码

在CRF系列的前两篇,我们总结了CRF的模型基础与第一个问题的求解方法,本文我们关注于linear-CRF的第二个问题与第三个问题的求解。第二个问题是模型参数学习的问题,第三个问题是维特比算法解码的问题。

linear-CRF模型参数学习思路

在linear-CRF模型参数学习问题中,我们给定训练数据集$X$和对应的标记序列$Y$,$K$个特征函数$f_k(x,y)$,需要学习linear-CRF的模型参数$w_k$和条件概率$P_w(y|x)$,其中条件概率$P_w(y|x)$和模型参数$w_k$满足一下关系:
$$
P_w(y|x) = P(y|x) = \frac{1}{Z_w(x)}exp\sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(x,y) = \frac{exp\sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(x,y)}{\sum\limits_{y}exp\sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(x,y)}
$$
所以我们的目标就是求出所有的模型参数$w_k$,这样条件概率$P_w(y|x)$可以从上式计算出来。

求解这个问题有很多思路,比如梯度下降法,牛顿法,拟牛顿法。同时,这个模型中$P_w(y|x)$的表达式和最大熵模型原理小结中的模型一样,也可以使用最大熵模型中使用的改进的迭代尺度法(improved iterative scaling, IIS)来求解。

下面我们只简要介绍用梯度下降法的求解思路。

linear-CRF模型参数学习之梯度下降法求解

在使用梯度下降法求解模型参数之前,我们需要定义我们的优化函数,一般极大化条件分布$P_w(y|x)$的对数似然函数如下:
$$
L(w)= log\prod_{x,y}P_w(y|x)^{\overline{P}(x,y)} = \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)logP_w(y|x)
$$
其中$\overline{P}(x,y)$为经验分布,可以从先验知识和训练集样本中得到,这点和最大熵模型类似。为了使用梯度下降法,我们现在极小化$f(w) = -L(P_w)$如下:

对$w$求导可以得到:
$$
\frac{\partial f(w)}{\partial w} = \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x)P_w(y|x)f(x,y) - \sum\limits_{x,y}\overline{P}(x,y)f(x,y)
$$
有了$w$的导数表达书,就可以用梯度下降法来迭代求解最优的$w$了。注意在迭代过程中,每次更新$w$后,需要同步更新$P_w(x,y)$,以用于下一次迭代的梯度计算。

梯度下降法的过程这里就不累述了,如果不熟悉梯度下降算法过程建议阅读之前写的梯度下降(Gradient Descent)小结。以上就是linear-CRF模型参数学习之梯度下降法求解思路总结。

linear-CRF模型维特比算法解码思路

现在我们来看linear-CRF的第三个问题:解码。在这个问题中,给定条件随机场的条件概率$P(y|x)$和一个观测序列$x$,要求出满足$P(y|x)$最大的序列$y$。

这个解码算法最常用的还是和HMM解码类似的维特比算法。到目前为止,我已经在三个地方讲到了维特比算法,第一个是文本挖掘的分词原理中用于中文分词,第二个是隐马尔科夫模型HMM(四)维特比算法解码隐藏状态序列中用于HMM解码。第三个就是这一篇了。

维特比算法本身是一个动态规划算法,利用了两个局部状态和对应的递推公式,从局部递推到整体,进而得解。对于具体不同的问题,仅仅是这两个局部状态的定义和对应的递推公式不同而已。由于在之前已详述维特比算法,这里就是做一个简略的流程描述。

对于我们linear-CRF中的维特比算法,我们的第一个局部状态定义为$\delta_i(l)$,表示在位置$i$标记$l$各个可能取值(1,2…m)对应的非规范化概率的最大值。之所以用非规范化概率是,规范化因子$Z(x)$不影响最大值的比较。根据$\delta_i(l)$的定义,我们递推在位置$i+1$标记$l$的表达式为:
$$
\delta_{i+1}(l) = \max_{1 \leq j \leq m}{\delta_i(j) + \sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(y_{i} =j,y_{i+1} = l,x,i)};, l=1,2,…m
$$
和HMM的维特比算法类似,我们需要用另一个局部状态$\Psi_{i+1}(l)$来记录使$\delta_{i+1}(l)$达到最大的位置$i$的标记取值,这个值用来最终回溯最优解,$\delta_{i+1}(l)$的递推表达式为:
$$
\Psi_{i+1}(l) = arg;\max_{1 \leq j \leq m}{\delta_i(j) + \sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(y_{i} =j,y_{i+1} = l,x,i)}; ,l=1,2,…m
$$

linear-CRF模型维特比算法流程

现在我们总结下 linear-CRF模型维特比算法流程:

输入:模型的$K$个特征函数,和对应的K个权重。观测序列$x=(x_1,x_2,…x_n)$,可能的标记个数$m$

输出:最优标记序列$y^* =(y_1^,y_2^,…y_n^*)$

1) 初始化:
$$
\delta_{1}(l) = \sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(y_{0} =start,y_{1} = l,x,i)};, l=1,2,…m
$$
$$
\Psi_{1}(l) = start;, l=1,2,…m
$$
2) 对于$i=1,2…n-1$,进行递推:
$$
\delta_{i+1}(l) = \max_{1 \leq j \leq m}{\delta_i(j) + \sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(y_{i} =j,y_{i+1} = l,x,i)};, l=1,2,…m
$$
$$
\Psi_{i+1}(l) = arg;\max_{1 \leq j \leq m}{\delta_i(j) + \sum\limits_{k=1}^Kw_kf_k(y_{i} =j,y_{i+1} = l,x,i)}; ,l=1,2,…m
$$
3) 终止:
$$
y_n^* = arg;\max_{1 \leq j \leq m}\delta_n(j)
$$
4)回溯:
$$
y_i^* = \Psi_{i+1}(y_{i+1}^);, i=n-1,n-2,…1
$$
最终得到最优标记序列$y^
=(y_1^,y_2^,…y_n^*)$

linear-CRF模型维特比算法实例

下面用一个具体的例子来描述 linear-CRF模型维特比算法,例子的模型和CRF系列第一篇中一样,都来源于《统计学习方法》。

假设输入的都是三个词的句子,即$X=(X_1,X_2,X_3)$,输出的词性标记为$Y=(Y_1,Y_2,Y_3)$,其中$Y \in {1(名词),2(动词)}$

这里只标记出取值为1的特征函数如下:
$$
t_1 =t_1(y_{i-1} = 1, y_i =2,x,i), i =2,3,;;\lambda_1=1 \
t_2 =t_2(y_1=1,y_2=1,x,2);;\lambda_2=0.6 \
t_3 =t_3(y_2=2,y_3=1,x,3);;\lambda_3=1 \
t_4 =t_4(y_1=2,y_2=1,x,2);;\lambda_4=1 \
t_5 =t_5(y_2=2,y_3=2,x,3);;\lambda_5=0.2 \
s_1 =s_1(y_1=1,x,1);;\mu_1 =1 \
s_2 =s_2( y_i =2,x,i), i =1,2,;;\mu_2=0.5 \
s_3 =s_3( y_i =1,x,i), i =2,3,;;\mu_3=0.8 \
s_4 =s_4(y_3=2,x,3);;\mu_4 =0.5
$$
求标记(1,2,2)的最可能的标记序列。

首先初始化:
$$
\delta_1(1) = \mu_1s_1 = 1;;;\delta_1(2) = \mu_2s_2 = 0.5;;;\Psi_{1}(1) =\Psi_{1}(2) = start
$$
接下来开始递推,先看位置2的:
$$
\delta_2(1) = max{\delta_1(1) + t_2\lambda_2+\mu_3s_3, \delta_1(2) + t_4\lambda_4+\mu_3s_3 } = max{1+0.6+0.8,0.5+1+0.8} =2.4;;;\Psi_{2}(1) =1
$$
$$
\delta_2(2) = max{\delta_1(1) + t_1\lambda_1+\mu_2s_2, \delta_1(2) + \mu_2s_2} = max{1+1+0.5,0.5+0.5} =2.5;;;\Psi_{2}(2) =1
$$
再看位置3的:
$$
\delta_3(1) = max{\delta_2(1) +\mu_3s_3, \delta_2(2) + t_3\lambda_3+\mu_3s_3} = max{2.4+0.8,2.5+1+0.8} =4.3
$$
$$
\Psi_{3}(1) =2
$$
$$
\delta_3(2) = max{\delta_2(1) +t_1\lambda_1 + \mu_4s_4, \delta_2(2) + t_5\lambda_5+\mu_4s_4} = max{2.4+1+0.5,2.5+0.2+0.5} =3.9
$$
$$
\Psi_{3}(2) =1
$$
最终得到$y_3^* =\arg;max{\delta_3(1), \delta_3(2)}$,递推回去,得到:
$$
y_2^* = \Psi_3(1) =2;;y_1^* = \Psi_2(2) =1
$$
即最终的结果为(1,2,1),即标记为(名词,动词,名词)。

linear-CRF vs HMM

linear-CRF模型和HMM模型有很多相似之处,尤其是其三个典型问题非常类似,除了模型参数学习的问题求解方法不同以外,概率估计问题和解码问题使用的算法思想基本也是相同的。同时,两者都可以用于序列模型,因此都广泛用于自然语言处理的各个方面。

现在来看看两者的不同点。最大的不同点是linear-CRF模型是判别模型,而HMM是生成模型,即linear-CRF模型要优化求解的是条件概率$P(y|x)$,则HMM要求解的是联合分布$P(x,y)$。第二,linear-CRF是利用最大熵模型的思路去建立条件概率模型,对于观测序列并没有做马尔科夫假设。而HMM是在对观测序列做了马尔科夫假设的前提下建立联合分布的模型。

最后想说的是,只有linear-CRF模型和HMM模型才是可以比较讨论的。但是linear-CRF是CRF的一个特例,CRF本身是一个可以适用于很复杂条件概率的模型,因此理论上CRF的使用范围要比HMM广泛的多。

以上就是CRF系列的所有内容。




评论

Your browser is out-of-date!

Update your browser to view this website correctly. Update my browser now

×