梯度提升树(GBDT)原理小结

在集成学习之Adaboost算法原理小结中,我们对Boosting家族的Adaboost算法做了总结,本文就对Boosting家族中另一个重要的算法梯度提升树(Gradient Boosting Decison Tree, 以下简称GBDT)做一个总结。GBDT有很多简称,有GBT(Gradient Boosting Tree), GTB(Gradient Tree Boosting ), GBRT(Gradient Boosting Regression Tree), MART(Multiple Additive Regression Tree),其实都是指的同一种算法,本文统一简称GBDT。GBDT在BAT大厂中也有广泛的应用,假如要选择3个最重要的机器学习算法的话,个人认为GBDT应该占一席之地。

GBDT概述

GBDT也是集成学习Boosting家族的成员,但是却和传统的Adaboost有很大的不同。回顾下Adaboost,我们是利用前一轮迭代弱学习器的误差率来更新训练集的权重,这样一轮轮的迭代下去。GBDT也是迭代,使用了前向分布算法,但是弱学习器限定了只能使用CART回归树模型,同时迭代思路和Adaboost也有所不同。

在GBDT的迭代中,假设我们前一轮迭代得到的强学习器是$f_{t-1}(x)$, 损失函数是$L(y, f_{t-1}(x))$, 我们本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器$h_t(x)$,让本轮的损失函数$L(y, f_{t}(x) =L(y, f_{t-1}(x)+ h_t(x))$最小。也就是说,本轮迭代找到决策树,要让样本的损失尽量变得更小。

GBDT的思想可以用一个通俗的例子解释,假如有个人30岁,我们首先用20岁去拟合,发现损失有10岁,这时我们用6岁去拟合剩下的损失,发现差距还有4岁,第三轮我们用3岁拟合剩下的差距,差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完,可以继续迭代下面,每一轮迭代,拟合的岁数误差都会减小。

从上面的例子看这个思想还是蛮简单的,但是有个问题是这个损失的拟合不好度量,损失函数各种各样,怎么找到一种通用的拟合方法呢?

GBDT的负梯度拟合

在上一节中,我们介绍了GBDT的基本思路,但是没有解决损失函数拟合方法的问题。针对这个问题,大牛Freidman提出了用损失函数的负梯度来拟合本轮损失的近似值,进而拟合一个CART回归树。第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度表示为
$$
r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]{f(x) = f{t-1};; (x)}
$$
利用$(x_i,r_{ti});; (i=1,2,..m)$,我们可以拟合一颗CART回归树,得到了第t颗回归树,其对应的叶节点区域$R_{tj}, j =1,2,…, J$。其中J为叶子节点的个数。
针对每一个叶子节点里的样本,我们求出使损失函数最小,也就是拟合叶子节点最好的的输出值$c_{tj}$如下:
$$
c_{tj} = \underbrace{arg; min}{c}\sum\limits{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c)
$$
这样我们就得到了本轮的决策树拟合函数如下:
$$
h_t(x) = \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})
$$
从而本轮最终得到的强学习器的表达式如下:
$$
f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})
$$
通过损失函数的负梯度来拟合,我们找到了一种通用的拟合损失误差的办法,这样无轮是分类问题还是回归问题,我们通过其损失函数的负梯度的拟合,就可以用GBDT来解决我们的分类回归问题。区别仅仅在于损失函数不同导致的负梯度不同而已。

GBDT回归算法

好了,有了上面的思路,下面我们总结下GBDT的回归算法。为什么没有加上分类算法一起?那是因为分类算法的输出是不连续的类别值,需要一些处理才能使用负梯度,我们在下一节讲。

输入是训练集样本$T={(x_,y_1),(x_2,y_2), …(x_m,y_m)}$, 最大迭代次数T, 损失函数L。

输出是强学习器f(x)

1) 初始化弱学习器
$$
f_0(x) = \underbrace{arg; min}{c}\sum\limits{i=1}^{m}L(y_i, c)
$$
2) 对迭代轮数t=1,2,…T有:
a)对样本i=1,2,…m,计算负梯度
$$
r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]{f(x) = f{t-1};; (x)}
$$
b)利用$(x_i,r_{ti});; (i=1,2,..m)$, 拟合一颗CART回归树,得到第t颗回归树,其对应的叶子节点区域为$R_{tj}, j =1,2,…, J$。其中J为回归树t的叶子节点的个数。
c) 对叶子区域j =1,2,..J,计算最佳拟合值
$$
c_{tj} = \underbrace{arg; min}{c}\sum\limits{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c)
$$
d) 更新强学习器
$$
f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})
$$
3) 得到强学习器f(x)的表达式
$$
f(x) = f_T(x) =f_0(x) + \sum\limits_{t=1}^{T}\sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})
$$

GBDT分类算法

这里我们再看看GBDT分类算法,GBDT的分类算法从思想上和GBDT的回归算法没有区别,但是由于样本输出不是连续的值,而是离散的类别,导致我们无法直接从输出类别去拟合类别输出的误差。

为了解决这个问题,主要有两个方法,一个是用指数损失函数,此时GBDT退化为Adaboost算法。另一种方法是用类似于逻辑回归的对数似然损失函数的方法。也就是说,我们用的是类别的预测概率值和真实概率值的差来拟合损失。本文仅讨论用对数似然损失函数的GBDT分类。而对于对数似然损失函数,我们又有二元分类和多元分类的区别。

二元GBDT分类算法

对于二元GBDT,如果用类似于逻辑回归的对数似然损失函数,则损失函数为:
$$
L(y, f(x)) = log(1+ exp(-yf(x)))
$$
其中$y \in{-1, +1}$。则此时的负梯度误差为
$$
r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]{f(x) = f{t-1};; (x)} = y_i/(1+exp(y_if(x_i)))
$$
对于生成的决策树,我们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为
$$
c_{tj} = \underbrace{arg; min}{c}\sum\limits{x_i \in R_{tj}} log(1+exp(-y_i(f_{t-1}(x_i) +c)))
$$
由于上式比较难优化,我们一般使用近似值代替
$$
c_{tj} = \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}r_{ti}\bigg / \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}|r_{ti}|(1-|r_{ti}|)
$$
除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索,二元GBDT分类和GBDT回归算法过程相同。

多元GBDT分类算法

多元GBDT要比二元GBDT复杂一些,对应的是多元逻辑回归和二元逻辑回归的复杂度差别。假设类别数为K,则此时我们的对数似然损失函数为:
$$
L(y, f(x)) = - \sum\limits_{k=1}^{K}y_klog;p_k(x)
$$
其中如果样本输出类别为k,则$y_k=1$。第k类的概率$p_k(x) $的表达式为:
$$
p_k(x) = exp(f_k(x)) \bigg / \sum\limits_{l=1}^{K} exp(f_l(x))
$$
集合上两式,我们可以计算出第$t$轮的第$i$个样本对应类别𝑙的负梯度误差为
$$
r_{til} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]{f_k(x) = f{l, t-1};; (x)} = y_{il} - p_{l, t-1}(x_i)
$$
观察上式可以看出,其实这里的误差就是样本𝑖对应类别$l$的真实概率和$t-1$轮预测概率的差值。

对于生成的决策树,我们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为
$$
c_{tjl} = \underbrace{arg; min}{c{jl}}\sum\limits_{i=0}^{m}\sum\limits_{k=1}^{K} L(y_k, f_{t-1, l}(x) + \sum\limits_{j=0}^{J}c_{jl} I(x_i \in R_{tjl}))
$$
由于上式比较难优化,我们一般使用近似值代替
$$
c_{tjl} = \frac{K-1}{K} ; \frac{\sum\limits_{x_i \in R_{tjl}}r_{til}}{\sum\limits_{x_i \in R_{til}}|r_{til}|(1-|r_{til}|)}
$$
除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索,多元GBDT分类和二元GBDT分类以及GBDT回归算法过程相同。

GBDT常用损失函数

这里我们再对常用的GBDT损失函数做一个总结。

对于分类算法,其损失函数一般有对数损失函数和指数损失函数两种:

a) 如果是指数损失函数,则损失函数表达式为
$$
L(y, f(x)) = exp(-yf(x))
$$
其负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合参见Adaboost原理篇。

b) 如果是对数损失函数,分为二元分类和多元分类两种,参见4.1节和4.2节。

    

对于回归算法,常用损失函数有如下4种:

  • a)均方差,这个是最常见的回归损失函数了
    $$
    L(y, f(x)) =(y-f(x))^2
    $$
  • b)绝对损失,这个损失函数也很常见
    $$
    L(y, f(x)) =|y-f(x)|
    $$
    对应负梯度误差为:
    $$
    sign(y_i-f(x_i))
    $$
  • c)Huber损失,它是均方差和绝对损失的折衷产物,对于远离中心的异常点,采用绝对损失,而中心附近的点采用均方差。这个界限一般用分位数点度量。损失函数如下:
    $$
    L(y, f(x))= \begin{cases} \frac{1}{2}(y-f(x))^2& {|y-f(x)| \leq \delta}\ \delta(|y-f(x)| - \frac{\delta}{2})& {|y-f(x)| > \delta} \end{cases}
    $$
    对应的负梯度误差为:
    $$
    r(y_i, f(x_i))= \begin{cases} y_i-f(x_i)& {|y_i-f(x_i)| \leq \delta}\ \delta sign(y_i-f(x_i))& {|y_i-f(x_i)| > \delta} \end{cases}
    $$
  • d) 分位数损失。它对应的是分位数回归的损失函数,表达式为
    $$
    L(y, f(x)) =\sum\limits_{y \geq f(x)}\theta|y - f(x)| + \sum\limits_{y < f(x)}(1-\theta)|y - f(x)|
    $$
    其中$\theta$为分位数,需要我们在回归前指定。对应的负梯度误差为:
    $$
    r(y_i, f(x_i))= \begin{cases} \theta& { y_i \geq f(x_i)}\ \theta - 1 & {y_i < f(x_i) } \end{cases}
    $$
    对于Huber损失和分位数损失,主要用于健壮回归,也就是减少异常点对损失函数的影响。

GBDT的正则化

和Adaboost一样,我们也需要对GBDT进行正则化,防止过拟合。GBDT的正则化主要有三种方式。

第一种是和Adaboost类似的正则化项,即步长(learning rate)。定义为$v$,对于前面的弱学习器的迭代
$$
f_{k}(x) = f_{k-1}(x) + h_k(x)
$$
如果我们加上了正则化项,则有
$$
f_{k}(x) = f_{k-1}(x) + \nu h_k(x)
$$
$\nu$的取值范围为$0 < \nu \leq 1$。对于同样的训练集学习效果,较小的$\nu$意味着我们需要更多的弱学习器的迭代次数。通常我们用步长和迭代最大次数一起来决定算法的拟合效果。

第二种正则化的方式是通过子采样比例(subsample)。取值为(0,1]。注意这里的子采样和随机森林不一样,随机森林使用的是放回抽样,而这里是不放回抽样。如果取值为1,则全部样本都使用,等于没有使用子采样。如果取值小于1,则只有一部分样本会去做GBDT的决策树拟合。选择小于1的比例可以减少方差,即防止过拟合,但是会增加样本拟合的偏差,因此取值不能太低。推荐在[0.5, 0.8]之间。

使用了子采样的GBDT有时也称作随机梯度提升树(Stochastic Gradient Boosting Tree, SGBT)。由于使用了子采样,程序可以通过采样分发到不同的任务去做boosting的迭代过程,最后形成新树,从而减少弱学习器难以并行学习的弱点。

第三种是对于弱学习器即CART回归树进行正则化剪枝。在决策树原理篇里我们已经讲过,这里就不重复了。

GBDT小结

GBDT终于讲完了,GDBT本身并不复杂,不过要吃透的话需要对集成学习的原理,决策树原理和各种损失函树有一定的了解。由于GBDT的卓越性能,只要是研究机器学习都应该掌握这个算法,包括背后的原理和应用调参方法。目前GBDT的算法比较好的库是xgboost。当然scikit-learn也可以。

最后总结下GBDT的优缺点。

GBDT主要的优点有:

  • 1) 可以灵活处理各种类型的数据,包括连续值和离散值。
  • 2) 在相对少的调参时间情况下,预测的准确率也可以比较高。这个是相对SVM来说的。
  • 3)使用一些健壮的损失函数,对异常值的鲁棒性非常强。比如 Huber损失函数和Quantile损失函数。

GBDT的主要缺点有:

  • 1)由于弱学习器之间存在依赖关系,难以并行训练数据。不过可以通过自采样的SGBT来达到部分并行。

    以上就是GBDT的原理总结,后面会讲GBDT的scikit-learn调参,敬请期待。


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