奇异值分解

奇异值分解

奇异值分解

  在了解特征值分解之后,我们知道,矩阵A不一定是方阵。为了得到方阵,可以将矩阵A的转置乘以该矩阵。从而可以得到公式:

1.3

  现在假设存在`M*N`矩阵`A`,我们的目标是在`n`维空间中找一组正交基,使得经过`A`变换后还是正交的。假设已经找到这样一组正交基:
1.4

  A矩阵可以将这组正交基映射为如下的形式。

1.5

  要使上面的基也为正交基,即使它们两两正交,那么需要满足下面的条件。

1.6

  如果正交基v选择为$A^{T}A$的特征向量的话,由于$A^{T}A$是对称阵,v之间两两正交,那么

1.7

  由于下面的公式成立

1.8

  所以取单位向量

1.9

  可以得到(下面的公式有误,delta_i 应该等于sqrt(lamda_i))

1.10

  奇异值分解是一个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法,它的形式如下:

1.11

  其中,U是一个M*M的方阵,它包含的向量是正交的,称为左奇异向量(即上文的u)。sigma是一个M*N的对角矩阵,每个对角线上的元素就是一个奇异值。V是一个N*N的矩阵,它包含的向量是正交的,称为右奇异向量(即上文的v)。

源码分析

  MLlibRowMatrix类中实现了奇异值分解。下面是一个使用奇异值分解的例子。

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import org.apache.spark.mllib.linalg.Matrix
import org.apache.spark.mllib.linalg.distributed.RowMatrix
import org.apache.spark.mllib.linalg.SingularValueDecomposition
val mat: RowMatrix = ...
// Compute the top 20 singular values and corresponding singular vectors.
val svd: SingularValueDecomposition[RowMatrix, Matrix] = mat.computeSVD(20, computeU = true)
val U: RowMatrix = svd.U // The U factor is a RowMatrix.
val s: Vector = svd.s // The singular values are stored in a local dense vector.
val V: Matrix = svd.V // The V factor is a local dense matrix.

性能

  我们假设nm小。奇异值和右奇异值向量可以通过方阵$A^{T}A$的特征值和特征向量得到。左奇异向量通过$AVS^{-1}$求得。
ml实际使用的方法方法依赖计算花费。

  • n很小(n<100)或者kn大(k>n/2),我们会首先计算方阵$A^{T}A$ ,然后在driver本地计算它的top特征值和特征向量。它的空间复杂度是O(n*n),时间复杂度是O(n*n*k)

  • 否则,我们用分布式的方式先计算$A^{T}Av$,然后把它传给ARPACKdriver上计算top特征值和特征向量。它需要传递O(k)的数据,每个executor的空间复杂度是O(n),driver的空间复杂度是O(nk)

代码实现

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def computeSVD(
k: Int,
computeU: Boolean = false,
rCond: Double = 1e-9): SingularValueDecomposition[RowMatrix, Matrix] = {
// 迭代次数
val maxIter = math.max(300, k * 3)
// 阈值
val tol = 1e-10
computeSVD(k, computeU, rCond, maxIter, tol, "auto")
}

  computeSVD(k, computeU, rCond, maxIter, tol, "auto")的实现分为三步。分别是选择计算模式,$A^{T}A$的特征值分解,计算V,U,Sigma
下面分别介绍这三步。

  • 1 选择计算模式
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val computeMode = mode match {
case "auto" =>
if (k > 5000) {
logWarning(s"computing svd with k=$k and n=$n, please check necessity")
}
if (n < 100 || (k > n / 2 && n <= 15000)) {
// 满足上述条件,首先计算方阵,然后本地计算特征值,避免数据传递
if (k < n / 3) {
SVDMode.LocalARPACK
} else {
SVDMode.LocalLAPACK
}
} else {
// 分布式实现
SVDMode.DistARPACK
}
case "local-svd" => SVDMode.LocalLAPACK
case "local-eigs" => SVDMode.LocalARPACK
case "dist-eigs" => SVDMode.DistARPACK
}
  • 2 特征值分解
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val (sigmaSquares: BDV[Double], u: BDM[Double]) = computeMode match {
case SVDMode.LocalARPACK =>
val G = computeGramianMatrix().toBreeze.asInstanceOf[BDM[Double]]
EigenValueDecomposition.symmetricEigs(v => G * v, n, k, tol, maxIter)
case SVDMode.LocalLAPACK =>
// breeze (v0.10) svd latent constraint, 7 * n * n + 4 * n < Int.MaxValue
val G = computeGramianMatrix().toBreeze.asInstanceOf[BDM[Double]]
val brzSvd.SVD(uFull: BDM[Double], sigmaSquaresFull: BDV[Double], _) = brzSvd(G)
(sigmaSquaresFull, uFull)
case SVDMode.DistARPACK =>
if (rows.getStorageLevel == StorageLevel.NONE) {
logWarning("The input data is not directly cached, which may hurt performance if its"
+ " parent RDDs are also uncached.")
}
EigenValueDecomposition.symmetricEigs(multiplyGramianMatrixBy, n, k, tol, maxIter)
}

  当计算模式是SVDMode.LocalARPACKSVDMode.LocalLAPACK时,程序实现的步骤是先获取方阵$A^{T}A$ ,在计算其特征值和特征向量。
获取方阵无需赘述,我们只需要注意它无法处理列大于65535的矩阵。我们分别看这两种模式下,如何获取特征值和特征向量。

  在SVDMode.LocalARPACK模式下,使用EigenValueDecomposition.symmetricEigs(v => G * v, n, k, tol, maxIter)计算特征值和特征向量。在SVDMode.LocalLAPACK模式下,直接使用breeze的方法计算。

  在SVDMode.DistARPACK模式下,不需要先计算方阵,但是传入EigenValueDecomposition.symmetricEigs方法的函数不同。

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private[mllib] def multiplyGramianMatrixBy(v: BDV[Double]): BDV[Double] = {
val n = numCols().toInt
//v作为广播变量
val vbr = rows.context.broadcast(v)
rows.treeAggregate(BDV.zeros[Double](n))(
seqOp = (U, r) => {
val rBrz = r.toBreeze
val a = rBrz.dot(vbr.value)
rBrz match {
//计算y += x * a
case _: BDV[_] => brzAxpy(a, rBrz.asInstanceOf[BDV[Double]], U)
case _: BSV[_] => brzAxpy(a, rBrz.asInstanceOf[BSV[Double]], U)
case _ => throw new UnsupportedOperationException
}
U
}, combOp = (U1, U2) => U1 += U2)
}

  特征值分解的具体分析在特征值分解中有详细分析,请参考该文了解详情。

  • 3 计算U,V以及Sigma
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//获取特征值向量
val sigmas: BDV[Double] = brzSqrt(sigmaSquares)
val sigma0 = sigmas(0)
val threshold = rCond * sigma0
var i = 0
// sigmas的长度可能会小于k
// 所以使用 i < min(k, sigmas.length) 代替 i < k.
if (sigmas.length < k) {
logWarning(s"Requested $k singular values but only found ${sigmas.length} converged.")
}
while (i < math.min(k, sigmas.length) && sigmas(i) >= threshold) {
i += 1
}
val sk = i
if (sk < k) {
logWarning(s"Requested $k singular values but only found $sk nonzeros.")
}
//计算s,也即sigma
val s = Vectors.dense(Arrays.copyOfRange(sigmas.data, 0, sk))
//计算V
val V = Matrices.dense(n, sk, Arrays.copyOfRange(u.data, 0, n * sk))
//计算U
// N = Vk * Sk^{-1}
val N = new BDM[Double](n, sk, Arrays.copyOfRange(u.data, 0, n * sk))
var i = 0
var j = 0
while (j < sk) {
i = 0
val sigma = sigmas(j)
while (i < n) {
//对角矩阵的逆即为倒数
N(i, j) /= sigma
i += 1
}
j += 1
}
//U=A * N
val U = this.multiply(Matrices.fromBreeze(N))

参考文献

【1】强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用

【2】奇异值分解(SVD)原理详解及推导

【3】A Singularly Valuable Decomposition: The SVD of a Matrix


   spark降维


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